Egy meglepő kérdés, amire a józan ész gyakran rosszul válaszol
Tegyük fel, egy szobában vagyunk harminc emberrel. Szerinted mekkora az esélye, hogy közülük kettőnek ugyanaz a születésnapja? A legtöbben ilyenkor rávágják, hogy valószínűleg nem túl nagy – hiszen az évnek 365 napja van, és 30 ember „nem is olyan sok”.
A meglepő válasz viszont az, hogy az esély több mint 70 százalék! Igen, jól olvastad. Háromból több mint két alkalommal előfordulna, hogy két ember ugyanazon a napon született – teljesen véletlenszerűen választott születésnapok esetén. Ez az úgynevezett birthday paradox, vagy magyarul: születésnap-paradoxon.
Miért „paradoxon”, ha ez csak matematika?
A paradoxon szó itt nem azt jelenti, hogy valami logikátlan vagy ellentmondásos. Inkább arról van szó, hogy a valószínűség intuitív megérzése és a tényleges matematikai eredmény nagyon különbözik egymástól. A legtöbb ember úgy gondolja: ha 365 nap van egy évben, akkor legalább 183 ember kellene ahhoz, hogy biztos legyen egy szülinap-egyezés. De ez nem így van.
A „paradoxon” lényege az, hogy az agyunk nem jól érzékeli az ilyen típusú valószínűségi problémákat – főleg, ha sok lehetséges párosításról van szó. Ugyanis nem azt kell néznünk, hány embernek van ugyanolyan napja, mint nekem, hanem hogy bármelyik két ember közül bármelyik kettő egyezhet.
Ez a kulcs.
Mi történik matematikailag?
Képzeljük el, hogy sorban érkeznek az emberek a szobába. Az első ember bármelyik napra születhet, az nem számít. A második embernek már 364 nap közül kell választania ahhoz, hogy ne egyezzen az elsővel – vagyis az esélye arra, hogy nem egyezik a szülinapjuk, 364/365.
A harmadik ember már két napot nem választhat: az első kettő születésnapját. Így 363/365 az esélye, hogy nem egyezik velük. És így tovább.
Ahogy haladunk előre, egyre kisebb az esélye annak, hogy minden új érkező új dátumot hoz. Ahelyett, hogy azt számolnánk, mekkora az esélye, hogy két ember ugyanazon a napon született, a matematikusok inkább azt számolják ki, hogy mekkora az esélye, hogy mindenki más napon született, és azt kivonják 1-ből.
30 ember esetén ez már több mint 70% esélyt ad arra, hogy valamelyik két ember szülinapja megegyezik.
Hogyan lehet ezt egyszerűbben megérteni?
Nem könnyű elhinni, hogy 30 embernél már ilyen magas az esély. De gondoljunk bele: ha 30 ember van a szobában, akkor ők összesen 435 lehetséges párost alkotnak (azaz ennyi különböző módon választhatunk ki két embert a 30-ból). Minden ilyen párnak van esélye arra, hogy egybeessen a születésnapja. Ez a sok-sok apró esély együtt adja ki azt a bizonyos 70% feletti valószínűséget.
Az agyunk viszont hajlamos csak egy-két konkrét esetet figyelembe venni („vajon velem egyezik valaki?”), és nem gondol végig minden lehetséges kombinációt.
Mi történik, ha 23 ember van a szobában?
Ez az a híres szám, aminél a birthday paradox igazán megmutatkozik. 23 ember esetén ugyanis több mint 50% az esély, hogy legalább ketten ugyanazon a napon születtek. Ez az a pont, ahol az esély már „átbillen” – tehát nagyobb a valószínűsége az egyezésnek, mint annak, hogy nincs egyezés.
Ez teljesen ellentmond a józan paraszti logikának, és mégis matematikailag hibátlan.
Mire jó ez a valóságban?
Bár elsőre csak egy érdekes fejtörőnek tűnik, a birthday paradox nagyon hasznos például a kriptográfiában. A „birthday attack” nevű módszer pont ezt a jelenséget használja ki, amikor valaki két adat között próbál egyezést keresni egy hash-függvény alapján. Ugyanez a logika játszik szerepet például adatbiztonsági protokollok vagy digitális aláírások biztonsági szintjének meghatározásában.
De persze nem kell számítógépzseni ahhoz, hogy lenyűgözzük ezzel a jelenséggel a barátainkat egy szülinapi bulin. Tényleg elég csak megkérdezni a vendégeket: „Na, szerintetek van itt valakinek közös születésnapja?” – és ha 20–30 ember van jelen, nagyon jó eséllyel igen lesz a válasz.
És mi van a szökőévvel?
Jogos kérdés, de a birthday paradox számításaiban a legtöbbször eltekintenek február 29-től, mivel az csak négyévente egyszer létezik. A statisztikai valószínűség alig változna, ha beleszámítanánk, de a matematikai modellek így egyszerűbbek. Ettől függetlenül a valóságban ez is megtörténhet – és akkor igazán érdekes, hogy még a „legritkább” születésnapra is van esély, hogy két ember osztozzon rajta.